Analysis Beispiele

$\ln (\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ zu dividieren.

$1 \frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x^{3}}$ und $g (x) = x^{4} - 7 x + 1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 7 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 + 0)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.8.1

Addiere $4 x^{3} - 7$ und $0$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}}$ mit $\frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{e^{x^{3}} {(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{4} - 7 x + 1$ aus $e^{x^{3}} {(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1))}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1))}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{4} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} + 1 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{4} e^{x^{3}} x^{2} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.5.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{4}) e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 4} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.5.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 (x^{2} x) e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x^{2 + 1} e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x^{3} e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 1 \cdot 3 e^{x^{3}} x^{2} - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 1 \cdot 4 e^{x^{3}} x^{3} - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x^{3} - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x^{3} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $4 e^{x^{3}} x^{3}$ von $- 21 x^{3} e^{x^{3}}$ .

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Schritt 8.5.2.1

Bewege $e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} - 4 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.2.2

Subtrahiere $4 x^{3} e^{x^{3}}$ von $- 21 x^{3} e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.5.3

Stelle die Faktoren in $3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}$ um.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $e^{x^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}}}$

Schritt 8.7

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{x^{3}} x^{6} - 25 e^{x^{3}} x^{3} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} - 7 e^{x^{3}} x + e^{x^{3}}}$