Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{7} \sqrt{x}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{7} x^{\frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{7 + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.2.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{14 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $14$ und $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{15}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{5}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} x^{- 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.4

Multipliziere $x^{\frac{15}{2}}$ mit $x^{- 5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{15}{2} - 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.4.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{15 - 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{15 - 10}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 1.4.5.2

Subtrahiere $10$ von $15$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{5}{2}} d x + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 \int x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - \int \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Schritt 13

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + \int 2021 d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + 2021 x + C$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + x^{5} - \frac{\ln (| x |)}{2} + e^{x} + 2021 x + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}} + x^{5} - \frac{1}{2} \ln (| x |) + e^{x} + 2021 x + C$