Analysis Beispiele

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u_{1}$ heraus.

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $3 (u_{1})$ an.

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Schritt 3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Dann ist $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 {u_{1}}^{2} + 7$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $9 {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $18 u_{1}$ und $0$ .

$18 u_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{18}$ und $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{3}{18}$ und $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $18$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u_{2}$ heraus.

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Schritt 9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$