Analysis Beispiele

$\int e^{\frac{2 x}{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{2}{3} d x$ , folglich $\frac{3}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2}{3}$ zu dividieren.

$\int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\int e^{u} \frac{3}{2} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u$

Schritt 2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$\int \frac{3 e^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{3}{2} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} + C$