Analysis Beispiele

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 - 5 x$ . Dann ist $d u_{1} = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\cos^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 15.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$