Analysis Beispiele

$\int \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \cot (x)$ . Dann ist $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cot (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - u^{3} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{3} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 4

Schreibe $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ um.

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\cot (x)$ .

$- \frac{1}{4} \cot^{4} (x) + C$