Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{10} x^{- 4} + \frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{10} x^{- 4} + \frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{10} x^{- 4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$\frac{1}{10} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 4}{10} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{- 4}{10}$ und $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{10 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $10$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{10 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{2 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{20}{5}$ und $x^{4}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3.6.2.4

Dividiere $4 x^{4}$ durch $1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - \frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 4 (\frac{3}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.6

Kombiniere $\frac{- 12}{2}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 1.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4.7.2.4

Dividiere $- 6 x^{3}$ durch $1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 2 (2 x)$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.6

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - \frac{2}{5 x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - \frac{2}{5 x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$16 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- \frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{5 x^{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.5.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.5.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.5.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 2.5.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 2.5.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 2.5.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{- 6})$

Schritt 2.5.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + 5 (\frac{2}{5}) x^{- 6}$

Schritt 2.5.9

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.5.10

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.5.11

Kombiniere $\frac{10}{5}$ und $x^{- 6}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10 x^{- 6}}{5}$

Schritt 2.5.12

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10}{5 x^{6}}$

Schritt 2.5.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 2.5.13.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 x^{6}}$

Schritt 2.5.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.13.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{6}$ heraus.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 (x^{6})}$

Schritt 2.5.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 x^{6}}$

Schritt 2.5.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{2}{x^{6}}$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$