Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 1} x$

Schritt 1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} - 1}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6