Analysis Beispiele

$\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}$ als ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d y} [{({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{- 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 2}$ und $g (y) = 2 y + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 1$ .

$4 (- 2 {(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8 ({(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- 16 {(2 y + 1)}^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 16}{{(2 y + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{{(2 y + 1)}^{3}}$