Analysis Beispiele

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 81} x (\sqrt{x} - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $81$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $81$ für $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $81$ für $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{81} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{81 \cdot (\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{81 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{81 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{81 \cdot 0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.2.6.3

Mutltipliziere $81$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $81$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $81$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $81$ für $x$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.13

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.14

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.15

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.16

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.17

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.17.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.17.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.17.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.17.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.17.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.19

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}} - 9$ mit $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.20

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.21

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.23

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.24

Addiere $x^{\frac{1}{2}}$ und $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Schritt 1.3.25

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Schritt 1.3.26

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Schritt 1.3.27

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + 0}$

Schritt 1.3.28

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1}$

Schritt 1.4

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9}{1}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Schritt 1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Schritt 1.6

Dividiere $\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $9 \cdot 2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $81$ annähert.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - 9 \cdot 2)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $81$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{81} - 9 \cdot 2)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{9^{2}} - 9 \cdot 2)$

Schritt 4.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 9 - 9 \cdot 2)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{1}{2} (27 - 9 \cdot 2)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (27 - 18)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $18$ von $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2}$

Dezimalform:

$4.5$