Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{4 {(x + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 {(x + 5)}^{2} + 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 {(x + 5)}^{2} + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - 8} {(x + 5)}^{2} + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 5)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 5)}^{2} + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + 2}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{lim_{x \to - 8} \frac{1}{3 x + 2} + lim_{x \to - 8} 2}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{\frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} 3 x + 2} + lim_{x \to - 8} 2}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{lim_{x \to - 8} 3 x + 2} + lim_{x \to - 8} 2}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 2} + lim_{x \to - 8} 2}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 2} + lim_{x \to - 8} 2}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 lim_{x \to - 8} x + 2} + lim_{x \to - 8} 2}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 8} x + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 lim_{x \to - 8} x + 2} + 2}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 8 + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 lim_{x \to - 8} x + 2} + 2}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 8 + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 \cdot - 8 + 2} + 2}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3 \cdot - 8 + 2$ .

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Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $\frac{4 {(- 8 + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 \cdot - 8 + 2} + 2}$ mit $\frac{3 \cdot - 8 + 2}{3 \cdot - 8 + 2}$ .

$\frac{3 \cdot - 8 + 2}{3 \cdot - 8 + 2} \cdot \frac{4 {(- 8 + 5)}^{2} + 1}{\frac{1}{3 \cdot - 8 + 2} + 2}$

Schritt 16.1.2

Kombinieren.

$\frac{(3 \cdot - 8 + 2) (4 {(- 8 + 5)}^{2} + 1)}{(3 \cdot - 8 + 2) (\frac{1}{3 \cdot - 8 + 2} + 2)}$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 \cdot - 8 + 2) (4 {(- 8 + 5)}^{2}) + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{3 \cdot - 8 + 2} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{(3 \cdot - 8 + 2) (4 {(- 8 + 5)}^{2}) + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 24 + 2} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.3.2

Addiere $- 24$ und $2$ .

$\frac{(3 \cdot - 8 + 2) (4 {(- 8 + 5)}^{2}) + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{(- 24 + 2) \cdot 4 {(- 8 + 5)}^{2} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.2

Addiere $- 24$ und $2$ .

$\frac{- 22 \cdot 4 {(- 8 + 5)}^{2} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.3

Mutltipliziere $- 22$ mit $4$ .

$\frac{- 88 {(- 8 + 5)}^{2} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.4

Addiere $- 8$ und $5$ .

$\frac{- 88 {(- 3)}^{2} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 88 \cdot 9 + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.6

Mutltipliziere $- 88$ mit $9$ .

$\frac{- 792 + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{- 792 + (- 24 + 2) \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.8

Addiere $- 24$ und $2$ .

$\frac{- 792 - 22 \cdot 1}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.9

Mutltipliziere $- 22$ mit $1$ .

$\frac{- 792 - 22}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.4.10

Subtrahiere $22$ von $- 792$ .

$\frac{- 814}{(3 \cdot - 8 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{- 814}{(- 24 + 2) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.2

Addiere $- 24$ und $2$ .

$\frac{- 814}{- 22 (\frac{1}{- 22}) + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $22$ .

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Schritt 16.5.3.1

Faktorisiere $22$ aus $- 22$ heraus.

$\frac{- 814}{22 (- 1) \frac{1}{- 22} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.3.2

Faktorisiere $22$ aus $- 22$ heraus.

$\frac{- 814}{22 \cdot - 1 \frac{1}{22 \cdot - 1} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 814}{22 \cdot - 1 \frac{1}{22 \cdot - 1} + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 814}{- 1 (\frac{1}{- 1}) + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.4

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{- 814}{- 1 \cdot - 1 + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 814}{1 + (3 \cdot - 8 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{- 814}{1 + (- 24 + 2) \cdot 2}$

Schritt 16.5.7

Addiere $- 24$ und $2$ .

$\frac{- 814}{1 - 22 \cdot 2}$

Schritt 16.5.8

Mutltipliziere $- 22$ mit $2$ .

$\frac{- 814}{1 - 44}$

Schritt 16.5.9

Subtrahiere $44$ von $1$ .

$\frac{- 814}{- 43}$

Schritt 16.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{814}{43}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{814}{43}$

Dezimalform:

$18.93023255 \dots$