Analysis Beispiele

$\int (5 + 5 x + 6 x^{- 3}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 5 + 5 x + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 d x + \int 5 x d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$5 x + C + \int 5 x d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 x + C + 5 \int x d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$5 x + C + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 8.1.3

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

Schritt 8.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{3}{x^{2}} + C$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$5 x + \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{x^{2}} + C$