Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{2 x + 5}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} + 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + lim_{x \to 6} 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x + 5}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x + lim_{x \to 6} 5}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 5}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + 5}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{6^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + 5}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{6^{2} + 4}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{36 + 4}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $36$ und $4$ .

$\frac{40}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{40}{\sqrt{12 + 5}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $12$ und $5$ .

$\frac{40}{\sqrt{17}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{40}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{40}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Schritt 10.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $\frac{40}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 10.4.2

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

Schritt 10.4.3

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

Schritt 10.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Schritt 10.4.6

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 10.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{40 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{1}}$

Schritt 10.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

Dezimalform:

$9.70142500 \dots$