Analysis Beispiele

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - e$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - e$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.4

Da $- e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $e^{x - e}$ mit $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- \frac{1}{e}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{e}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Um $e^{x - e}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Schritt 5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Schritt 5.1.3

Um $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Schritt 5.1.4

Um $- \frac{1}{e}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x e$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Schritt 5.1.5.3

Stelle die Faktoren von $x e$ um.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Schritt 5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$