Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x^{2}} - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^{2}} x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x + \sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{2 x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.1.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x e^{x^{2}} + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{x^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x^{1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1 + 1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 \cdot e^{x^{2}} + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.11

Mutltipliziere $e^{x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5.4

Stelle die Faktoren in $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 4.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Schritt 6.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Schritt 6.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot 1 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Schritt 6.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0} + \cos (0))$

Schritt 6.1.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 + \cos (0))$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 + \cos (0))$

Schritt 6.1.9

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 + 1)$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (2 + 1)$

Schritt 6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$