Analysis Beispiele

$\int 3^{2 - 5 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 3^{u} \cdot (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $3^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{3^{u}}{5} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{3^{u}}{5} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{5} \int 3^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{1}{5} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ als $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (3)}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 5} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 6.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$- \frac{1}{5 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{5 \ln (3)} \cdot 3^{2 - 5 x} + C$