Analysis Beispiele

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

Schritt 1

Multipliziere ${(2 + y^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 + y^{2})}^{2}$ als $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ um.

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.5

Stelle $y^{2}$ und $2$ um.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Schritt 1.8

Addiere $2$ und $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

Schritt 1.9

Addiere $2 y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

Schritt 1.10

Stelle $4 y^{2}$ und $y^{4}$ um.

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

Schritt 1.11

Bewege $4$ .

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$