Analysis Beispiele

$\sin^{2} (2 x^{3} + 3 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x^{3} + 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$ um.

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x) \sin (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.2

Stelle $2 \cos (2 x^{3} + 3 x)$ und $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ um.

$\sin (2 x^{3} + 3 x) (2 \cos (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.3

Stelle $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (2 (2 x^{3}) + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 3)$

Schritt 4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2}) + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Schritt 4.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \cdot \sin (4 x^{3} + 6 x)$

Schritt 4.11

Stelle die Faktoren in $6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$ um.

$6 x^{2} \sin (4 x^{3} + 6 x) + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$