Analysis Beispiele

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 3.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 3.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Faktorisiere $\sin^{2} (u_{1})$ aus.

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Schreibe $\sin^{2} (u_{1})$ in $1 - \cos^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8

Sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (u_{1})$ .

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Schritt 14.4

Kombiniere $16$ und $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$