Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $x + 2 x^{2}$ mit $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.5.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.2.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$4 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \cdot 4 - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

Schritt 3.3.9

Addiere $8 x$ und $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{8}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

Schritt 6.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

Schritt 6.6

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

Schritt 6.7

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1 \cdot - 1$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$