Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} + 2 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} d x + \int_{0}^{3} 2 d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = 3 - 1$

Schritt 2.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{0}^{3} 2 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{0}^{3} 2 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + 2 x]_{0}^{3}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $2$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 x]_{0}^{3}$

Schritt 5.2

Berechne $2 x$ bei $3$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}) + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 + 1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.7

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{9}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.8.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 + 6 - 2 \cdot 0$

Schritt 5.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$3 + 6 + 0$

Schritt 5.3.11

Addiere $6$ und $0$ .

$3 + 6$

Schritt 5.3.12

Addiere $3$ und $6$ .

$9$

Schritt 6