Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{x})}$

Schritt 1.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Schritt 1.1.3.1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} x})}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 - e^{0})}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 - e^{x}$ .

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Schritt 1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Schritt 1.3.6.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Schritt 1.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Schritt 1.3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Schritt 1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Schritt 1.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

Schritt 1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- e^{x})}$

Schritt 1.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2 - e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{- \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} - e^{x} (- \frac{2 - e^{x}}{e^{x}})$

Schritt 1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $2 - e^{x}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 - e^{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2 - e^{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 - e^{0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1$