Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 x^{3} + 5 x^{2} + 2}{4 x - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 x^{3} + lim_{x \to - 1} 5 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 5 lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 5 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 5 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 5 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - 2}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to - 1} 4 x - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2}{4 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2}{4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{- 5 {(- 1)}^{3} + 5 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2}{4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{- 5 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} + 2}{4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{- 5 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} + 2}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 5 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} + 2}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 + 5 {(- 1)}^{2} + 2}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5 + 5 \cdot 1 + 2}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 + 2}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.1.5

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{10 + 2}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.1.6

Addiere $10$ und $2$ .

$\frac{12}{4 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{12}{- 4 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{12}{- 4 - 2}$

Schritt 12.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$\frac{12}{- 6}$

Schritt 12.3

Dividiere $12$ durch $- 6$ .

$- 2$