Analysis Beispiele

$4 x + 4 y^{2} + x^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x + 4 y^{2} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 4 y^{2} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 + 8 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 + 8 y y' + 2 x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$8 y y' + 2 x + 4$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 y y' + 2 x + 4 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' + 4 = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' = - 2 x - 4$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y y' = - 2 x - 4$ durch $8 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y y' = - 2 x - 4$ durch $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{4 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{4 (- 1)}{8 y}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{4 (- 1)}{4 (2 y)}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (2 y)}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{4 y} - \frac{1}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y} - \frac{1}{2 y}$