Analysis Beispiele

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Dann ist $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , folglich $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(2 r - 1)}^{2}$ als $(2 r - 1) (2 r - 1)$ um.

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $(2 r - 1) (2 r - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.1.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1.2.1

Bewege $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Schritt 1.1.4.2

Subtrahiere $2 r$ von $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Schritt 1.1.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6

Berechne $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Da $3$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ nach $r$ gleich $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 r^{2} - 4 r + 1$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.3

Da $4$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $4 r^{2}$ nach $r$ gleich $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- 4 r$ nach $r$ gleich $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.7

Da $1$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.6.10

Addiere $8 r - 4$ und $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Schritt 1.1.7

Da $6$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Schritt 1.1.8.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Schritt 1.1.8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Schritt 1.1.8.2.3

Addiere $24 r - 12$ und $0$ .

$24 r - 12$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$