Analysis Beispiele

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $x$ nach $y$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{8 y^{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Schritt 3.3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Schritt 3.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Schritt 3.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{- 2}{8}$ und $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Schritt 3.3.12

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Schritt 3.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 3.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Schritt 3.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y^{3}$ heraus.

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Schritt 3.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Schritt 3.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Schritt 3.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$