Analysis Beispiele

$\frac{x + 1}{4^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = 4^{x}$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{{(4^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(4^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4^{x} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4^{x} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $4^{x}$ mit $1$ .

$\frac{4^{x} - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$\frac{4^{x} - (x + 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4^{x} + (- x - 1 \cdot 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 \cdot 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $- 1 (4^{x} \ln (4))$ als $- (4^{x} \ln (4))$ um.

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

$\frac{4^{x} - x \cdot 4^{x} \ln (4) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4^{x} x \ln (4) - 4^{x} \ln (4) + 4^{x}}{4^{2 x}}$