Analysis Beispiele

$2^{x^{2} + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + 0)$

Schritt 2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x)$

Schritt 3

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{x^{2} + 3} \ln (2) x$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + x^{2} + 3} \ln (2) x$

Schritt 5

Addiere $1$ und $3$ .

$2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$

Schritt 6

Stelle die Faktoren von $2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$ um.

$2^{x^{2} + 4} x \ln (2)$