Analysis Beispiele

$- \cos (\sqrt{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x^{\frac{1}{2}})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ mit $1$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Kombiniere $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$