Analysis Beispiele

$- 1 = - x y + 2 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 1) = \frac{d}{d x} (- x y + 2 y^{2})$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y + 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (x y' + y) + 4 y y'$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x y') - y + 4 y y'$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$- x y' + 4 y y' - y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = - x y' + 4 y y' - y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- x y' + 4 y y' - y = 0$ um.

$- x y' + 4 y y' - y = 0$

Schritt 5.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 4 y y' = y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' + 4 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) + 4 y y' = y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 y y'$ heraus.

$y' (- x) + y' (4 y) = y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' (4 y)$ heraus.

$y' (- x + 4 y) = y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 4 y) = y$ durch $- x + 4 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 4 y) = y$ durch $- x + 4 y$ .

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{y}{- x + 4 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 4 y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{y}{- x + 4 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{- x + 4 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{y}{- (x) + 4 y}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $4 y$ heraus.

$y' = \frac{y}{- (x) - (- 4 y)}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 4 y)$ heraus.

$y' = \frac{y}{- (x - 4 y)}$

Schritt 5.4.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.4.1

Schreibe $- (x - 4 y)$ als $- 1 (x - 4 y)$ um.

$y' = \frac{y}{- 1 (x - 4 y)}$

Schritt 5.4.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x - 4 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - 4 y}$