Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 7 x - 6}{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - 7 x - 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 7 x - lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 7 x - lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 7 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 7 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 7 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 1 - 7 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 + 7 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{- 1 + 7 - 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.6.2

Addiere $- 1$ und $7$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.2.6.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}$

Schritt 1.1.3.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.1.3.6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{- 1 + 3 - 2}$

Schritt 1.1.3.7.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.7.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 7 x - 6}{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 7 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $3 x^{2} - 7$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.10.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 7}{3 x^{2} + 6 x + 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 2}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 2.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 2.9

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 2.10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{3 - 7}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$\frac{- 4}{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{3 \cdot 1 + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 4}{3 + 6 \cdot - 1 + 2}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{3 - 6 + 2}$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$\frac{- 4}{- 3 + 2}$

Schritt 4.2.5

Addiere $- 3$ und $2$ .

$\frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$4$