Analysis Beispiele

$- y = y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (y^{3} - y^{2} + 3 x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$3 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$3 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 (3 x^{2})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 9 x^{2}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y' = 9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' = - y'$

Schritt 5.2

Addiere $y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Schritt 5.4.3

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Schritt 5.4.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ durch $3 y^{2} - 2 y + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ durch $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$