Analysis Beispiele

$\int (\frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{15}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 3

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15$ aus dem Integral.

$15 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$15 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$15 \int x^{- 4} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{- 5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{- 5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{5}{x^{3}} - 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 8}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 10.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x^{4})} + C$

Schritt 10.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{4}} + C$

Schritt 10.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}} + C$