Analysis Beispiele

$\int (x^{5} - 4 x^{- 4} + 6 x^{3} - 2 x) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int x^{5} - 4 x^{- 4} + 6 x^{3} - 2 x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{5} d x + \int - 4 x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int - 4 x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 \int x^{- 4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x d x$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C - 4 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} - 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{2 (- x^{2})}{2} + C$

Schritt 11.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 11.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 11.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- x^{2}}{1} + C$

Schritt 11.2.3.2.4

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3 x^{4}}{2} - x^{2} + C$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{3}{2} x^{4} - x^{2} + C$