Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ und $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{d}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{d}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Schritt 8.2

Schreibe $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ als $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{d}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 d$ heraus.

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $\frac{d}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$