Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 4.11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$