Analysis Beispiele

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ positiv ist.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\tan (t)}{2}$ an.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.2

Ordne Terme um.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\sec (t)$ und $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 7

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 9

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 10

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 12.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 13

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 14

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 14.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 14.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 15

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 16

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 18

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 19

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 21

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 22

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 23

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 24

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 25

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 25.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 26

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 27

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 28

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29

Vereinfache.

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Schritt 29.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 30

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31

Vereinfache.

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Schritt 31.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 31.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (2 x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, 2 x)$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (2 x))$ $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.4

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.6.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Schritt 31.1.6.4

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Schritt 31.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 31.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.4

Kombiniere $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.5

Kombiniere $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Schritt 31.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Schritt 31.7

Um $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Schritt 31.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 31.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Schritt 31.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Schritt 31.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Schritt 31.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Schritt 32

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Schritt 33

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$