Analysis Beispiele

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Schritt 1.2.4

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Schritt 1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ von $0$ .

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{9}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\cos (\frac{3 x}{2})$ und $\frac{9}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.3.4.2

Multipliziere.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{3 x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x = 0$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 5.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Schritt 5.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 5.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 5.7.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 5.7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.7.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 5.7.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 5.7.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 5.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Schritt 5.7.2.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.8

Die Lösung der Gleichung $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (0)$ heraus.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

Schritt 7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

Schritt 7.1.2.4

Dividiere $3 \cdot (0)$ durch $1$ .

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$- \frac{27}{4}$

Schritt 8

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

Schritt 9.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (0) = - 1 + 3$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (0) = 2$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 π}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 π$ heraus.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Schritt 11.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

Schritt 11.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

Schritt 11.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

Schritt 11.3.2

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Schritt 11.4.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

Schritt 11.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

Schritt 11.4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 27}{4}$

Schritt 11.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{27}{4}$

Schritt 11.6

Multipliziere $- - \frac{27}{4}$ .

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Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{27}{4})$

Schritt 11.6.2

Mutltipliziere $\frac{27}{4}$ mit $1$ .

$\frac{27}{4}$

Schritt 12

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Schritt 13.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Schritt 13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Schritt 13.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Schritt 13.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

Schritt 13.2.1.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

Schritt 13.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 13.2.1.5

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 13.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Schritt 13.2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 14

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, 2)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15