Analysis Beispiele

$lim_{x \to 49} \frac{x (\sqrt{x} - 7)}{x - 49}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 49} x (\sqrt{x} - 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $49$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x} - 7}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $49$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (lim_{x \to 49} \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - lim_{x \to 49} 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $49$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $49$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $49$ für $x$ .

$\frac{49 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $49$ für $x$ .

$\frac{49 \cdot (\sqrt{49} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{49 \cdot (\sqrt{7^{2}} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{49 \cdot (7 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{49 \cdot (7 - 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{49 \cdot 0}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.2.6.3

Mutltipliziere $49$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $49$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - lim_{x \to 49} 49}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $49$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - 1 \cdot 49}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $49$ für $x$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 49} \frac{x (\sqrt{x} - 7)}{x - 49} = lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7] + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.13

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.14

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.15

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.16

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.17

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.17.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.3.17.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.17.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.17.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.17.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.19

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}} - 7$ mit $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.20

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.21

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.23

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.24

Addiere $x^{\frac{1}{2}}$ und $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Schritt 1.3.25

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Schritt 1.3.26

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1 + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Schritt 1.3.27

Da $- 49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1 + 0}$

Schritt 1.3.28

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1}$

Schritt 1.4

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 7}{1}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2}}{1}$

Schritt 1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}}{1}$

Schritt 1.6

Dividiere $\frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 49} 3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $49$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 49} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 49} \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 49} x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $7 \cdot 2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $49$ annähert.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 49} x} - 7 \cdot 2)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $49$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{49} - 7 \cdot 2)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{7^{2}} - 7 \cdot 2)$

Schritt 4.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 7 - 7 \cdot 2)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{1}{2} (21 - 7 \cdot 2)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (21 - 14)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $14$ von $21$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $7$ .

$\frac{7}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{2}$

Dezimalform:

$3.5$