Analysis Beispiele

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $12$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $12$ annähert.

$\frac{12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $12$ für $x$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $12$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - lim_{x \to 12} 48}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - lim_{x \to 12} 48}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $48$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $12$ annähert.

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - 1 \cdot 48}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $12$ für $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 12 - 1 \cdot 48}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{0}{48 - 1 \cdot 48}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$\frac{0}{48 - 48}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $48$ von $48$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48} = lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 48$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $4$ und $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{- 1}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $12$ annähert.

$\frac{- 1}{4}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$