Analysis Beispiele

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{3} - 1$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = x^{3} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$