Analysis Beispiele

${(x y)}^{x} = e$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x y$ und $g = x$ ist.

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Schritt 2.6.5

Stelle die Terme um.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Schritt 3

Da $e$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.2

Multipliziere $x^{x - 1}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.3

Multipliziere $x^{x - 1}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{x - 1}$ .

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Schritt 5.1.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.1.1.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.3.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.4

Multipliziere $y^{x - 1}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.4.1

Bewege $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{x - 1}$ .

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Schritt 5.1.1.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.1.1.4.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.1.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ um.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{x + 1} y^{x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' x^{x} y^{x}$ aus $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' x^{x} y^{x}$ aus $x' x^{x} y^{x}$ heraus.

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' x^{x} y^{x}$ aus $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ heraus.

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x' x^{x} y^{x}$ aus $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ heraus.

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ durch $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ durch $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{x}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{x}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \ln (x y)$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{x + 1}$ und $x^{x}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $x^{x}$ aus $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ heraus.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{x}$ aus $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ heraus.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Schritt 5.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{x - 1}$ und $y^{x}$ .

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Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $y^{x}$ aus $- x y^{x - 1}$ heraus.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.3.1

Bringe $y^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Schritt 5.4.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Schritt 5.4.3.3.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ um.

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$