Analysis Beispiele

$x y - y - 5 - 2 x^{3} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y - y - 5 - 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - y - 5 - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y - y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x y' + y - y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x y' + y - y' + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x y' + y - y' + 0 - 2 (3 x^{2})$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$x y' + y - y' + 0 - 6 x^{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $x y' + y - y'$ und $0$ .

$x y' + y - y' - 6 x^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{2} + x y' + y - y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 6 x^{2} + x y' + y - y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $6 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y - y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - y' = 6 x^{2} - y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - y' = 6 x^{2} - y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' x + y' \cdot - 1 = 6 x^{2} - y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (x - 1) = 6 x^{2} - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 1) = 6 x^{2} - y$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 1) = 6 x^{2} - y$ durch $x - 1$ .

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{6 x^{2}}{x - 1} + \frac{- y}{x - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{6 x^{2}}{x - 1} + \frac{- y}{x - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{x - 1} + \frac{- y}{x - 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{6 x^{2}}{x - 1} - \frac{y}{x - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 x^{2} - y}{x - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y}{x - 1}$