Analysis Beispiele

$3 {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $3 {(x + 1)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 {(x + 1)}^{2} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int {(x + 1)}^{2} d x$

Schritt 5

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{3} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ ${(x + 1)}^{3} + C$