Analysis Beispiele

$y = {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 x^{3} + 2)}^{4}$ und $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 x^{3} + 2)}^{4}$ .

$3 \cdot {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 x^{3} + 2$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{3} + 2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{3} + 2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

Schritt 3.7

Differenziere.

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Schritt 3.7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 3.7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 3.7.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + 0))$

Schritt 3.7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.6.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2}))$

Schritt 3.7.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (24 {(2 x^{3} + 2)}^{3} x^{2})$

Schritt 3.7.6.3

Stelle die Terme um.

$- 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$