Analysis Beispiele

$- 4 y^{2} + 3 - 3 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 4 y^{2} + 3 - 3 x^{2} - 4 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 y^{2} + 3 - 3 x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 y y' + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 y y' + 0 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 8 y y' + 0 - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 y y' + 0 - 6 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 y y' + 0 - 6 x - 4 \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 8 y y' + 0 - 6 x - 4$

Schritt 2.6

Addiere $- 8 y y'$ und $0$ .

$- 8 y y' - 6 x - 4$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 8 y y' - 6 x - 4 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y y' - 4 = 6 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y y' = 6 x + 4$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y y' = 6 x + 4$ durch $- 8 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y y' = 6 x + 4$ durch $- 8 y$ .

$\frac{- 8 y y'}{- 8 y} = \frac{6 x}{- 8 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y y'}{- 8 y} = \frac{6 x}{- 8 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x}{- 8 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x}{- 8 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x}{- 8 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 8$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (3 x)}{- 8 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (3 x)}{2 (- 4 y)} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (3 x)}{2 (- 4 y)} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x}{- 4 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x}{4 y} + \frac{4}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 8$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y' = - \frac{3 x}{4 y} + \frac{4 (1)}{- 8 y}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 y$ heraus.

$y' = - \frac{3 x}{4 y} + \frac{4 (1)}{4 (- 2 y)}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{3 x}{4 y} + \frac{4 \cdot 1}{4 (- 2 y)}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 x}{4 y} + \frac{1}{- 2 y}$

Schritt 5.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x}{4 y} - \frac{1}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{4 y} - \frac{1}{2 y}$