Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $G (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $g (x)$ ermittelt wird.

$G (x) = \int g (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 5.4

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 5.7

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 10.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Schritt 11

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 13.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 13.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ .

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$