Analysis Beispiele

$y = x - x \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x \sin (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$1 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x))$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - (x \cos (x)) - \sin (x)$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$1 - x \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$- x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$