Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7

Differenziere.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.2.2

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 4.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.9.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [x]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.9.3

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.14

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.17

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.18

Kombiniere $x'$ und $\frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.19

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

Schritt 4.20

Stelle die Faktoren in $- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$ um.

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ um.

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Schritt 6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Bewege ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{1} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache ${(1 - x^{2})}^{1} x'$ .

$- x^{2} x' + (1 - x^{2}) x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} x' + 1 x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.5

Mutltipliziere $x'$ mit $1$ .

$- x^{2} x' + x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $x^{2} x'$ von $- x^{2} x'$ .

$- 2 x^{2} x' + x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} x' + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $- 2 x^{2} x' + x'$ heraus.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $x'$ aus $- 2 x^{2} x'$ heraus.

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Potenziere $x'$ mit $1$ .

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Faktorisiere $x'$ aus ${x'}^{1}$ heraus.

$x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1 = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.1.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1$ heraus.

$x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $- 2 x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $- 2 x^{2} + 1$ .

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x^{2} + 1$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) + 1}$

Schritt 6.4.2.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) - 1 (- 1)}$

Schritt 6.4.2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 6.4.2.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 6.4.2.3.4.1

Schreibe $- (2 x^{2} - 1)$ als $- 1 (2 x^{2} - 1)$ um.

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 6.4.2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$