Analysis Beispiele

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2 x}$ als $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)]$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.5.3

Kombiniere $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))$

Schritt 12

Mutltipliziere $\ln (x^{2} + 1)$ mit $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1)))$

Schritt 13

Um $\ln (x^{2} + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}))$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

Schritt 15

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 16

Kombiniere $e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}$ und $\frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.2.1

Vereinfache $2 \ln (x^{2} + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2.3

Mutltipliziere $\ln (x^{2} + 1)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2.5

Multipliziere $2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2})$ .

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Schritt 17.2.2.5.1

Stelle $\ln (x^{2} + 1)$ und $2$ um.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 \cdot \ln (x^{2} + 1) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2.5.2

Vereinfache $2 \cdot \ln (x^{2} + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.2.6

Vereinfache $2 \ln (x^{2} + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}))}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.2.5

Stelle die Faktoren in $4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ um.

$\frac{4 x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} + x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 17.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$